题目内容
5．钟表中有很多问题还有待于我们进一步探究．其中钟表面就是一个圆周．时针转一周就是一个周角360°，把圆周12等分，分别标上数字1、2、3…12就是12个小时的刻度了．问题1：时针1小时转过的角度是30°；时针1分钟转过的角度是$\frac{1}{2}$°；
分针1分钟转过的角度是6°．
问题2：有研究者利用问题1的蚌论进一步探索发现：以12时0分开始为0度作参考，如果现在是x时y分（12小时制，即下午14时记为2时）．那么就马上计算出时针与分针的夹角的度数为|5.5y-30x/度，当出现计算结果超过180度时须用360度减去计算结果才是时针与分针的夹角（约定：时针与分针形成的夹角都是指小于等于180度的角）．
请计算：2时25分，时针与分针的夹角是77.5度；
10时20分，时针与分针的夹角是170度．
探索与发现
若现在是4时10分，时针与分针形成一个角度，记为∠α
（1）当$\frac{17}{3}$或10时10分，时针与分针是形成的角度刚好与∠α互补；
（2）4时多少分时，时针与分针形成的角度刚好与∠α互余？（结果保留分数）
分析 根据题意，可以解答问题1，根据问题2提供的信息可以解答问题2，由题意可以得到探索与发现的答案．
解答 解：由题意可得，
时针1小时转过的角度是360°÷12=30°；时针1分钟转过的角度是30°×$\frac{1}{60}=\frac{1}{2}$°；分针1分钟转过的角度是360°×$\frac{1}{60}=6°$；
故问题一的答案为：30，$\frac{1}{2}$，6．
2时25分，时针与分针的夹角是：|5.5×25-30×2|=77.5，3
10时20分，时针与分针的夹角是：|5.5×20-30×10|=190，360-190=170；
故问题2的答案是：77.5，170．
探索与发现：
（1）设x时10分时，时针与分针是形成的角度刚好与∠α互补，
则，|5.5×10-30x|+|5.5×10-30×4|=180°或（360°-|5.5×10-30x|）+|5.5×10-30×4|=180°
解得x=$\frac{17}{3}$或x=10．
故答案为：$\frac{17}{3}$或10；
（2）设4时y分时，时针与分针形成的角度刚好与∠α互余4时多少分时，时针与分针形成的角度刚好与∠α互余，
则，|5.5×y-30×4|+|5.5×10-30×4|=90°或（360°-|5.5×y-30×4|）+|5.5×10-30×4|=90°，
解得y=$\frac{290}{11}或y=\frac{190}{11}或y=\frac{910}{11}$，
即4时$\frac{290}{11}$分时或4时$\frac{190}{11}$分时或4时$\frac{910}{11}$分时，时针与分针形成的角度刚好与∠α互余．
点评 本题考查钟面角、余角和补角，解题的关键是明确题意，根据题意可得找出所求问题需要的条件．
| A． | 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 | |
| B． | 平分弦的直径垂直于弦 | |
| C． | 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 | |
| D． | 长度相等的两条弧相等 |
| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |