Question

已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．求证：AE•BF•AB=CD³．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：在直角△ABC、直角△ACD和直角△BCD中应用射影定理，再将线段进行等量代换即可证明．

解答：证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴CD²=AD•BD．∴CD⁴=AD²•BD²．
又∵Rt△ADC中，DE⊥AC，Rt△BDC中，DF⊥BC，
∴AD²=AE•AC，BD²=BF•BC．
∴CD⁴=AE•BF•AC•BC．
又∵AC•BC=AB•CD，
∴CD⁴=AE•BF•AB•CD．
∴AE•BF•AB=CD³．

点评：本题考查了相似三角形的性质，正确记忆射影定理的内容是关键．