Question

11．已知$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=3z}\\{x-2y=4z}\end{array}\right.$，且xyz≠0，求$\frac{x^2+y^2-z^2}{2x^2-y^2-z^2}$的值．

Answer 1

分析 根据$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=3z}\\{x-2y=4z}\end{array}\right.$，且xyz≠0，用加减消元法可以求得x与z，y与z的关系，代入所求的式子即可解答问题．

解答 解：∵$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=3z①}\\{x-2y=4z②}\end{array}\right.$
∴①×2+②，得x=2z；
①-②×2，得y=-z．
∵xyz≠0，x=2z，y=-z，
∴$\frac{x^2+y^2-z^2}{2x^2-y^2-z^2}$=$\frac{（2z）^{2}+（-z）^{2}-{z}^{2}}{2×（2z）^{2}-（-z）^{2}-{z}^{2}}=\frac{4{z}^{2}+{z}^{2}-{z}^{2}}{8{z}^{2}-{z}^{2}-{z}^{2}}$=$\frac{4{z}^{2}}{6{z}^{2}}=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查解三元一次方程组和分式的化简，解题的关键是能利用加减消元法找出x与z，y与z的关系．