题目内容
7．如图，正方形OABC的边OA、OC在坐标轴上，点B的坐标为（4，4），E、F分别是OA边、AB边上的动点，连接EF．（1）如图1，如果OE=AF=1，求直线EF的解析式；
（2）如图2，折叠正方形OABC，如果A、B两点同时落在CE上的点O位置，求点G的坐标；
（3）如图3，E、F在运动过程中，如果保持∠ECF=45°，探求△AEF的周长是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由．
分析 （1）由四边形OABC是正方形，点B的坐标为（4，4），OE=AF=1，得到点E，F的坐标，代入求解；
（2）由折叠的性质得：AE=GE，BF=GF=AF，CG=BC=4，在直角三角形COE中，由勾股定理列方程求出GE，再由三角形相似得到点G的坐标；
（3）在x轴上截取OM=BF，连接CM，构造全等三角形，根据∠ECF=45°，得到∠MCE=∠MCO+∠OCE=45°，又得到一对全等的三角形，得到线段的关系，证得△AEF的周长=8是个定值，于是得解．
解答 
解：（1）如图1∵四边形OABC是正方形，点B的坐标为（4，4），
∴OA=AB=4，
∵OE=AF=1，
∴E（1，0），F（4，1），
设直线EF的解析式：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线EF的解析式：y=$\frac{1}{3}x$+$\frac{1}{3}$；
（2）如图2由折叠的性质得：AE=GE，BF=GF=AF，CG=BC=4，
设AE=GE=x，则OE=4-x，CE=4+x，
∴（4-x）2+42=（4+x）2，
∴x=1，∴AE=GE=1，
过点G作GH⊥OA于H，
∴GH∥OC，∴$\frac{GH}{OC}$=$\frac{EH}{OE}$=$\frac{EG}{EC}$=$\frac{1}{5}$，
∴GH=$\frac{4}{5}$，EH=$\frac{3}{5}$，
∴OH=$\frac{12}{5}$，
∴G（$\frac{12}{5}$，$\frac{4}{5}$）；
（3）如图3在x轴上截取OM=BF，连接CM，
在△COM与△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=BC}\\{∠MOC=∠B}\\{OM=BF}\end{array}\right.$，
∴△OMC≌△BFC（SAS），
∴CM=CF，∠MCO=∠FCB，
∴∠MCF=FCE=45°，
在△MCE与△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CF}\\{∠MCE=∠FCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△MCE≌△FCE（SAS），
∴ME=EF，
△AEF的周长=AF+EF+AE=ME+AE+AF=AE+OE+AF+BF=8，
∴E、F在运动过程中，如果保持∠ECF=45°，△AEF的周长不会发生改变．
点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析式等知识点．
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