Question

5．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD，垂足为E，点F在BD上，连接AF、EF．
（1）求证：DA=DE；
（2）如果AF∥CD，则四边形ADEF是什么特殊四边形？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质结合全等三角形的判定方法得出△ABD≌△EBD（HL），进而得出DA=DE；
（2）首先得出AF=DE且AF∥CD，得出四边形ADEF为平行四边形，再利用菱形的判定方法得出答案．

解答 证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB．
又∵BC=CD，∴∠DBC=∠BDC．
∴∠ADB=∠BDC．
又∵∠ADB=∠BDC，BA⊥AD，BE⊥CD，
∴BA=BE．
在RT△ABD和RT△EB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{AB=BE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△EBD（HL），
∴AD=ED；

（2）结论：如果AF∥CD，则四边形ADEF是菱形，
理由：∵AF∥CD，∴∠BDC=∠AFD，
又∵∠ADB=∠BDC，
∴∠AFD=∠ADB，
∴AD=AF，
又∵AD=DE，∴AF=DE且AF∥CD，
∴四边形ADEF为平行四边形，
∵AD=DE，
∴四边形ADEF为菱形．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形和菱形的判定，得出四边形ADEF为平行四边形是解题关键．