Question

19．已知：关于x的方程x²-（k+1）+$\frac{1}{4}$k²+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）k取何值时，方程有两个实数根；
（2）当矩形的对角线长为$\sqrt{5}$时，求k的值；
（3）当k为何值时，矩形变为正方形？

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式找出△=2k-3，结合方程有两个实数根即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范围；
（2）设方程x²-（k+1）+$\frac{1}{4}$k²+1=0的两根分别为a、b，由根与系数的关系即可得出a+b=k+1、ab=$\frac{1}{4}$k²+1，再根据a²+b²=5即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值，结合（1）的结论即可确定k值；
（3）当矩形变为正方形时，方程的两根相等，即△=2k-3=0，解方程即可得出k的值．

解答 解：（1）△=[-（k+1）]²-4×1×（$\frac{1}{4}$k²+1）=2k-3，
∵方程有两个实数根，
∴△≥0，即2k-3≥0，
解得：k≥$\frac{3}{2}$，
∴当k≥$\frac{3}{2}$时，方程有两个实数根．
（2）设方程x²-（k+1）+$\frac{1}{4}$k²+1=0的两根分别为a、b，
则a+b=k+1，ab=$\frac{1}{4}$k²+1，
∵矩形的对角线长为$\sqrt{5}$，即a²+b²=5，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（k+1）²-2×（$\frac{1}{4}$k²+1）=5，
整理得：k²+4k-12=0，
解得：k=2或k=-6（舍去）．
∴当矩形的对角线长为$\sqrt{5}$时，k的值为2．
（3）当矩形为正方形时，方程两根相等，
∴△=2k-3=0，
解得：k=$\frac{3}{2}$．
∴当k为$\frac{3}{2}$时，矩形变为正方形．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及正方形的性质，解题的关键是：（1）根据根的判别式得出关于k的一元一次不等式；（2）结合根与系数的关系得出关于k的一元二次方程；（3）结合正方形的性质得出关于k的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式找出方程（或不等式）是关键．