Question

1．如图，设抛物线y=ax²+x+c与x轴交于两个不同的点A（1，0）、B（m，0），对称轴为直线x=-1，顶点记为点C．且∠ACB=90°．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）已知过点A的直线y=-x+1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、C为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△BCP的外接圆半径等于$\frac{\sqrt{26}}{2}$或$\frac{2\sqrt{13}}{5}$．（直接写答案）

Answer 1

分析 （1）由二次函数图象的对称性、对称轴及A点坐标，可求出m值，利用直角三角形可以求出C点坐标，利用交点式和C点坐标，求出二次函数解析式；
（2）联立直线AE和二次函数的解析式即可求得E点的坐标，此时可发现∠ABE=45°，若以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，可考虑两种情况：①△BCP∽△AEB，②△BCP∽△ABE；根据上述两种情况所得到的不同比例线段即可求出BP的长，从而确定P点的坐标．
（3）根据三角形外接圆性质，可知．外接圆心在三角形三边垂直平分线上，因此只需求出三角形两边垂直平分线的直线解析式，联立方程组，即可求出三角形外接圆圆心，然后利用两点之间距离公式，即可求出三角形外接圆半径．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+x+c与x轴交于两个不同的点A（1，0）、B（m，0），对称轴为直线x=-1，
∴点B的坐标为（m，0），
即m=-3，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴点C的坐标为（-1，-2），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+3），
将点C（-1．-2）代入，
则a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$；
（2）联立直线AE与二次函数解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
解得：x₁=1，x₂=-5
∴E（-5，6）
∴AE=6$\sqrt{2}$，AB=4，BC=2$\sqrt{2}$，
∵∠BAE=∠BCP=45°
∴△BCP与△ABE相似分为以下两种情况：
①当△BCP∽△ABE时得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{BP}$，
∴$\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{BP}$
∴BP=6
P（3，0）

②当△BCP∽△AEB时得：
$\frac{AB}{BP}=\frac{AE}{BC}$
∴$\frac{4}{BP}=\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$
∴BP=$\frac{4}{3}$
∴P（-$\frac{5}{3}$，0）

综上所述：P（3，0）或P（-$\frac{5}{3}$，0）．
（3）当点P（3，0）时
线段BP的垂直平分线为x=0
线段BC的垂直平分线为y=x+1
联立方程组：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=x+1}\end{array}\right.$
解得圆心坐标为（0，1）
∴外接圆半径为$\sqrt{（0+3）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{10}$
同理：当点P坐标为（-$\frac{5}{3}$，0）
线段BP的垂直平分线为x=-$\frac{7}{3}$
线段BC的垂直平分线为y=x+1
联立方程组：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{7}{3}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$
解得圆心坐标为（-$\frac{7}{3}$，-$\frac{5}{3}$）
∴外接圆半径为$\frac{\sqrt{29}}{3}$
综上所述：外接圆半径为$\sqrt{10}$或$\frac{\sqrt{29}}{3}$．

点评 本题目很好地将二次函数、三角形相似、圆知识点很好地结合，既考查了学生的知识点宽度，也考察学生知识掌握的深度，是很不错的题目．