Question

2．已知y=（m-3）${x}^{{m}^{2}-3m-2}$为x的二次函数．
（1）求满足条件的m的值；
（2）当m为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）当m为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增加而减小？

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的二次项系数不为0，x的指数最高为2即可求解；
（2）当抛物线开口方向向下时，函数有最大值，根据抛物线的对称轴来找y随x的增大而增大时x的取值范围；
（3）当抛物线开口方向向上时，函数有最小值，根据抛物线的对称轴来找y随x的增大而减小时x的取值范围．

解答 解：（1）依题意得：m²-3m-2=2且m-3≠0，
解得m₁=-1，m₂=4；

（2）∵抛物线有最高点，
∴m-3＜0，即m＜3．
∴m=-1．
∴最高点是（0，0），
当x＜0时，y随x的增大而增大；

（3）∵函数有最小值，
∴m-3＞0，即m＞3．
∴m=4．
∴最小值为0，
当x＜0时，y与x的增加而减小．

点评 本题考查了二次函数的最值和二次函数的定义．抛物线有最高点的条件是它的开口向下，即m-3＜0，二函数有最小值的条件是m-3＞0，二次函数的最值是顶点坐标的纵坐标．