Question

16．如题，OA、OB是⊙O的半径，OA⊥OB，⊙O过点C的切线交OB的延长线于点D，E为OD延长线与AC延长线的交点，求证：DC=DE．

Answer 1

分析 连结OC，如图，根据切线的性质得∠OCD=90°，则∠DCE+∠ACO=90°，再由OA⊥OB得到∠AOE=90°，所以∠E+∠A=90°，加上∠A=∠ACO，则根据等角的余角相等可得∠DCE=E，然后根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．

解答 证明：连结OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠DCE+∠ACO=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOE=90°，
∴∠E+∠A=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠DCE=E，
∴DC=DE．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的判定．