Question

13．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）抛物线上是否存在一点P，试的△BCD面积与△PBC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法先求出b，再利用配方法求出顶点坐标即可．
（2）利用勾股定理的逆定理即可判断．
（3）①过点D作平行于BC的直线与抛物线的解得计算所求的点P，②对称轴与BC的交点E（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$），点D关于点E的对称点F（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{8}$），过点F平行于BC的直线与抛物线的交点就是所求的点P．

解答 解：（1）把点A（-1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2得b=-$\frac{3}{2}$，
∴抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴顶点D坐标（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）．
（2）令y=0，x²-3x-4=0，x=-1或4，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，-2），
∴AC²+BC²=5+20=25，AB²=5²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
（3）直线BC解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
过点D作平行于BC的直线为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{31}{8}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\\{y=\frac{1}{2}x-\frac{31}{8}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{25}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{11}{8}}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{11}{8}$），
对称轴与BC的交点E（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$），点D关于点E的对称点F（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{8}$），
过点F平行于BC的直线：y=$\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\\{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8+\sqrt{34}}{4}}\\{y=\frac{7+\sqrt{34}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8-\sqrt{34}}{4}}\\{y=\frac{7-\sqrt{34}}{8}}\end{array}\right.$．
∴P′坐标（$\frac{8+\sqrt{34}}{4}$，$\frac{7-\sqrt{34}}{8}$），P″坐标（$\frac{8-\sqrt{34}}{4}$，$\frac{7-\sqrt{34}}{8}$）．
综上所述，满足△BCD面积与△PBC的面积相等点P的坐标（$\frac{5}{2}$，-$\frac{11}{8}$）或（$\frac{8+\sqrt{34}}{4}$，$\frac{7-\sqrt{34}}{8}$）或（$\frac{8-\sqrt{34}}{4}$，$\frac{7-\sqrt{34}}{8}$）．

点评 本题考查抛物线与x轴交点、待定系数法、三角形面积等知识，解题的关键是根据平行线性质，同底等高的三角形面积相等解决问题，利用方程组求出交点坐标，体现了数形结合的思想，属于中考常考题型．