Question

18．?ABCD中，∠A=45°，AD=2，AB=x，过点D作AB、BC边上的高DE、DF，记BE+BF=y．
（1）请画出图形，直接写出y关于x的函数解析式以及自变量x的取值范围；
（2）当y=$1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，x=2$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 （1）由?ABCD中，∠A=45°，AD=2，AB=x，可求得AE与CF的长，继而求得BE+BF的长，即可求得y关于x的函数解析式，然后由平行四边形的性质，求得自变量x的取值范围；
（2）由y=$1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可得方程：1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$x+2-$\sqrt{2}$，继而求得答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=45°，BC=AD=2，CD=AB=x，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，AD=2，AB=x，
∴AE=AD•cos∠A=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，CF=CD•cos∠C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴BE=AB-AE=x-$\sqrt{2}$，BC-CF=2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴y=BE+BF=x-$\sqrt{2}$+2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$x+2-$\sqrt{2}$（x≥$\sqrt{2}$）；

（2）当y=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$x+2-$\sqrt{2}$，
解得：x=2$\sqrt{2}$+1．
故答案为：2$\sqrt{2}$+1．

点评 此题考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．注意准确画出图形是关键．