Question

13．如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，延长CB至点M，在射线BN上截取线段BD，使BD=AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（　　）

• A． 2$-\sqrt{3}$
• B． 2+$\sqrt{3}$
• C． 1+$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}-1$

Answer 1

分析 在直角三角形ABC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出AB的长，再利用勾股定理求出BC的长，由CB+BD求出CD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出所求即可．

解答 解：在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=BD=2k，∠BAD=∠BDA=15°，BC=$\sqrt{3}$k，
∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=75°，
在Rt△ACD中，CD=CB+BD=$\sqrt{3}$k+2k，
则tan75°=tan∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}k+2k}{k}$=2+$\sqrt{3}$，
故选B

点评 此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．