Question

5．如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出kx+b-$\frac{m}{x}$＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）把B（2，-4）代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$，得出m的值，再把A（-4，n）代入一次函数的解析式y=kx+b，运用待定系数法分别求其解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点C，把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算．
（3）根据图象，分别观察交点的那一侧能够使一次函数的值小于反比例函数的值，从而求得x的取值范围．

解答 解：（1）∵B（2，-4）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=2×（-40=-8．
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{8}{x}$．
∵A（-4，n）在y=-$\frac{8}{x}$上，
∴n=2．
∴A（-4，2）．
∵y=kx+b经过A（-4，2），B（2，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=2}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$．
解之得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴一次函数的解析式为y=-x-2．

（2）设C是直线AB与y轴的交点，
∴当x=0时，y=-2．
∴点C（0，-2）．
∴OC=2．
∴S_△AOB=S_△ACO+S_△BCO=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×2×2=6．

（3）由图象可知当x＞2或-4＜x＜0时，kx+b＜$\frac{m}{x}$，
∴kx+b-$\frac{m}{x}$＜0的解集为：x＞2或-4＜x＜0．

点评 本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．