Question

16．如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3$\sqrt{2}$，⊙O的半径为$\sqrt{2}$，点P是AB边上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则PQ长度的取值范围为$\sqrt{7}$≤PQ≤4．

Answer 1

分析 首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ²=OP²-OQ²，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．

解答 解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ²=OP²-OQ²，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=3$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=6，
∴OP=$\frac{OA•OB}{AB}$=3，
∴PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
当点P与点B或点A重合时，PQ=$\sqrt{O{B}^{2}-O{Q}^{2}}$=4，
∴$\sqrt{7}$≤PQ≤4．
故答案为：$\sqrt{7}$≤PQ≤4．

点评 本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．