Question

6．进位数是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0～9进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n（n≤10）进制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0～（n-1）进行记数，特点是逢n进一，我们可以通过以下方式把它转化为十进制：
例如：五进制数（234）₅=2×5²+3×5+4=69，记作（234）₅=69，
七进制数（136）₇=1×7²+3×7+6=76，记作（136）₇=76
（1）请将以下两个数转化为十进制：（331）₅=91，（46）₇=34
（2）若一个正数可以用七进制表示为（$\overline{abc}$），也可以用五进制表示为$\overline{（cba）_{5}}$，请求出这个数并用十进制表示．

Answer 1

分析 （1）根据题意即刻得到结论；
（2）根据题目中提供的信息即刻得到结论．

解答 解：（1）（331）₅=91，（46）₇=34，
故答案为：91，34；
（2）∵$（\overline{abc}）_{7}$=$\overline{（cba）_{5}}$，
∴49a+7b+c=25c+5b+a，
∴c=2a+$\frac{b}{12}$，
∵a，b，c都是整数且0≤b≤4，
∴b=0，c=2a，
∵0＜a≤4，0＜c≤4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∵（102）₇=1×49+0×7+2=51，（204）₇=2×49+0×7+4=102，
∴这个数是51或102．

点评 本题考查五进制、七进制和十进制之间的转换．需注意观察所给例题及二进制数的特点．