Question

18．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB．
（1）△APP′的形状是等边三角形；
（2）求∠APB的度数．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得∠PAP′=∠BAC=60°，AP=AP′，则可判断△APP′为等边三角形；
（2）由△APP′为等边三角形得到PP′=AP=6，∠APP′=60°，再由旋转性质得P′B=PC=10，则可根据勾股定理的逆定理证明△BPP′为直角三角形，∠BPP′=90°，所以∠APB=∠APP′+∠BPP′=150°．

解答 解：（1）∵将△PAC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，
∴∠PAP′=∠BAC=60°，AP=AP′，
∴△APP′为等边三角形；
故答案为等边三角形；
（2）∵△APP′为等边三角形，
∴PP′=AP=6，∠APP′=60°，
∵将△PAC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，
∴P′B=PC=10，
在△PBP′中，BP′=10，BP=8，PP′=6，
∵6²+8²=10²，
∴PP′²+BP²=BP′²，
∴△BPP′为直角三角形，∠BPP′=90°，
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．