Question

9．阅读理解：由面积都是1的小正方格组成的方格平面叫做格点平面．而纵横两组平行线的交点叫做格点．如图1中，有9个格点，如果一个正方形的每个顶点都在格点上，那么这个正方形称为格点正方形．
（1）探索发现：按照图形完成下表：

	格点正方形边上格点数p	格点正方形内格点数q	$\frac{p}{2}+q-1$	格点正方形面积S
图1	4	1	2	2
图2	4	4	5	5
图3	12	4	9	9
图4	4	9	10	10

关于格点正方形的面积S，从上述表格中你发现了什么规律？
（2）继续猜想：类比格点正方形的概念，如果一个长方形的每个顶点都在格点上，那么这个长方形称为格点长方形，对于格点长方形的面积，你认为也有类似（1）中的规律吗？试以图5中格点长方形为例来说明．

Answer 1

分析 （1）结合图形分别数出边上的格点数、内部格点数、再计算$\frac{p}{2}+q-1$、S的值，列出前四个图形各数据可得规律；
（2）列出图5中的p、q、$\frac{p}{2}+q-1$、S的值得出规律．

解答 解：（1）图1中、p=4，q=1，$\frac{p}{2}+q-1$=2，S=$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2，可知S=$\frac{p}{2}+q-1$；
图2中、p=4，q=4，$\frac{p}{2}+q-1$=5，S=$\sqrt{5}×\sqrt{5}$=5，可知S=$\frac{p}{2}+q-1$；
图3中、p=12，q=4，$\frac{p}{2}+q-1$=9，S=3×3=9，可知S=$\frac{p}{2}+q-1$；
图4中、p=4，q=9，$\frac{p}{2}+q-1$=10，S=$\sqrt{10}×\sqrt{10}$=10，可知S=$\frac{p}{2}+q-1$；
…
综上，格点正方形的面积S等于格点正方形边上格点数p除以2加上格点正方形内格点数q减1，即S=$\frac{p}{2}+q-1$；
（2）对于格点长方形的面积，也有S=$\frac{p}{2}+q-1$；
例如：图5中p=6，q=8，$\frac{p}{2}+q-1$=10，S=$\sqrt{5}$×$2\sqrt{5}$=10，故S=$\frac{p}{2}+q-1$仍然成立．
故答案为：（1）2，5，5，12，9，9，10，10．

点评 本题主要考查图形的变化规律，补全表格结合表格得出数据间联系是关键，属中档题．