Question

4．已知二次函数y=-x²+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为A（-1，0），另一交点为B，与y轴的交点坐标为C（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）求出顶点D的坐标以及S_△BCD面积；
（3）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将A与C坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式；
（2）作DM⊥y轴于M，把抛物线解析式化成顶点式，即可得出顶点坐标；求出抛物线与x轴的交点A与B坐标，S_△BCD=梯形OBDM的面积-△CDM的面积-△BOC的面积，即可得出结果；
（3）由点A与B坐标，利用图象即可确定出x的范围．

解答 解：（1）将A（-1，0）与C（0，3）代入二次函数解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴b=2，c=3，二次函数解析式为y=-x²+2x+3；
（2）作DM⊥y轴于M，如图所示：
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D（1，4），
令y=0，则-x²+2x+3=0，
即（x-3）（x+1）=0，
可得：x-3=0或x+1=0，
解得：x=3，或x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，
∵OC=3，
∴OM=4，
∴S_△BCD=梯形OBDM的面积-△CDM的面积-△BOC的面积
=$\frac{1}{2}$（1+3）×4-$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{1}{2}$×3×3
=3；
（3）∵A（-1，0），B（3，0），
根据图象得：函数值y为正数时，即y＞0，自变量x的取值范围为-1＜x＜3；

点评 此题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的性质，以及抛物线与x轴的交点，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．