题目内容
如图，△ABC内接于圆O，AD是⊙O的直径，经过点B作直径AD的垂线交⊙O于另一点E，交AC的延长线于点F．求证：BC•EF=AB•CF．考点：圆周角定理,相似三角形的判定与性质
专题：证明题
分析：连接DE，AE，由弦与直径垂直得出DB=DE，AB=AE，再由同一条弦所对的圆周角相等得出△FBC∽△FAE，得出
=
，由AB=AE即可推出结论．
| EF |
| FC |
| AE |
| BC |
解答：证明：如图，连接DE，AE，
∵BE是圆的弦且直径AD垂直BE，
∴DB=DE，AB=AE，
∵∠FBC=∠EAF，∠F=∠F，
∴△FBC∽△FAE，
∴
=
，
∵AB=AE，
∴BC•EF=AB•CF．
∵BE是圆的弦且直径AD垂直BE，
∴DB=DE，AB=AE，
∵∠FBC=∠EAF，∠F=∠F，
∴△FBC∽△FAE，
∴
| EF |
| FC |
| AE |
| BC |
∵AB=AE，
∴BC•EF=AB•CF．
点评：本题主要考查了圆周角定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是求出△FBC∽△FAE．
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