Question

如图，△ABC中，∠A=90°，AC=AB，将点C与原点重合，建立平面直角坐标系，AB边与y轴交于点D，且y轴平分∠AOB．
（1）请直接写出∠BOD的度数；
（2）设点B横坐标为x，求证OD=2x；
（3）如图2，△ABC形状与大小保持不变，将其沿BC所在直线平移，使得点O落在线段BC上，那么（2）中的结论是否成立？若成立，请予以证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：解直角三角形,坐标与图形性质,三角形内角和定理

专题：

分析：（1）根据直角三角形的性质，可得∠ACB=∠ABC=45°，根据角平分线的性质，可得答案；
（2）根据与弦函数，可得OD=

AC

cos22.5°

=

AC

sin67.5°

，根据正弦定理，根据正弦函数的2倍角关系，可得sin67.5°•cos67.5°=

1

2

sin135°，可得答案；
（3）根据正弦定理，可得

CD

sin45°

=

OB

sin(180°-22.5°-45°)

=

OB

sin67.5°

，根据与弦函数，可得x=OB•cos67.5°，根据正弦定理，可得答案．

解答：（1）解：∵∠A=90°，AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴BC=

2

AC．
∵y轴平分∠AOB，
∴∠BOD=∠AOD=22.5°；
（2）证明：∵∠A=90°，∠AOD=22.5°，
∴OD=

AC

cos22.5°

=

AC

sin67.5°

．
∵∠BOD=22.5°，
∴x=BC•cos（90°-22.5°）=BC•cos67.5°，
∴

CD

x

=

AC

BC•sin67.5°•cos67.5

=

1

2 sin135° 2

=2，
即OD=2x．
（3）解：如图2，△ABC形状与大小保持不变，将其沿BC所在直线平移，使得点O落在线段BC上，那么（2）中的结论仍成立，理由如下：
∵平移不改变图形的形状，
∴∠BOD=22.5°，∠ABC=45°，根据正弦定理，得

CD

sin45°

=

OB

sin(180°-22.5°-45°)

=

OB

sin67.5°

，
CD=

OB•sin45°

sin67.5°

．
∵点B横坐标为x，∠BOD=22.5°，
∴x=OB•cos（90°-22.5°）=OB•cos67.5°，
∴

CD

x

=

OBsin45° sin67.5°

OB•cos67.5°

=

sin45°

sin67.5°•cos67.5°

=

1

2 sin135° 2

=2，
即OD=2x．

点评：本题考查了解直角三角形，利用了角平分线的性质，锐角三角函数，正弦定理，正弦的2倍角关系，题目稍有难度．