Question

8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，动点D从点B出发沿BC方向匀速运动，同时动点E从点A出发沿射线CA方向以相同的速度匀速运动，当点D到达点C时，当点C到达C时，D，E同时停止运动，过点D作DF⊥AB于点F，连接DE交AB于点G，在整个运动过程中（不计点D与B，C重合的情形），线段FG的长度变化情况是（　　）

• A． 一直增大
• B． 一直不变
• C． 先减小后增大
• D． 先增大后减小

Answer 1

分析 过E作EH⊥BA交BA的延长线与H，由△ABC是等腰直角三角形，得到∠B=∠BAC=45°，根据DF⊥AB，得到∠BFD=90°，于是得到∠B=∠EAH，推出△BDF≌△EAH，得到EH=DF，证得DG=EG，设BD=x，AC=1，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：过E作EH⊥BA交BA的延长线与H，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵DF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
∵∠EAH=∠BAC=45°，
∴∠B=∠EAH，
在△BFD与△EAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠EAH}\\{∠BFD=∠H}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△EAH，
∴EH=DF，
在△DFG与△EGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFG=∠H=90°}\\{∠DGF=∠AGE}\\{DF=HE}\end{array}\right.$，
∴△DFG≌△EGH，
∴DG=EG，
设BD=x，AC=1，
∴DE²=（1-x）²+（1+x）²，=2+2x²，DG²=$\frac{1+{x}^{2}}{2}$，
∴FG²=DE²-DG²=$\frac{1}{2}$，
∴FG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴线段FG的长度不变，
故选B．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．