Question

11．如图，△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后，得到△A′P′B，且AB=4，那么AA′的长为2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$．（不取近似值，sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，cos15°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$）

Answer 1

分析 连接AA′，过B作BC⊥AA′于点C，由题意知BA=BA′，再根据等腰三角形底边上高也是底边上的中线和顶角的平分线得到∠ABC=15°，最后利用AC=ABsin15°和已知条件即可求出AA′．

解答 解：如图，连接AA′，过B作BC⊥AA′于点C．
∵△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后，得到△A′P′B，
∴BA=BA′，∠ABA′=30°，
∵BC⊥AA′于点C，
∴∠ABC=15°，AA′=2AC．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC=ABsin15°=4×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∴AA′=2AC=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$．
故答案为2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义．