Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、C，与y轴交于点B（0，3），抛物线的顶点为P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线向下平移k个单位后经过点（-5，6）．
①求k的值及平移后抛物线所对应函数的最小值；
②设平移后抛物线与y轴交于点D，顶点为Q，点M是平移后的抛物线上的一个动点，请探究：当点M在何处时，△MBD的面积是△MPQ面积的2倍？求出此时点M的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把于点A（-1，0）、点B（0，3）坐标分别y=x²+bx+c求出b和c的值即可；
（2）可用k表示出平移后抛物线的解析式，已知了平移后的抛物线过点C（-5，6），那么可将C点的坐标代入其中，即可求出k的值．进而可根据得出的二次函数求出其最小值．
（3）本题要先求出BD和PQ的长，根据（2）可得出BD=PQ=2，因此要使△MBD的面积是△MPQ面积的2倍，只需让M到y轴的距离等于M到抛物线对称轴（即PQ）的距离的2倍即可．因此本题可分三种情况进行讨论：①M在抛物线对称轴和y轴的左侧时；②M在抛物线对称轴和y轴之间；③M在y轴和抛物线对称轴右侧时．根据上述三种情况可得出三个不同的M点的横坐标，将其代入抛物线的解析式中即可得出M点的坐标．

解答：解：（1）∵点A（-1，0）、点B（0，3），在抛物线上，
∴

0=1-b+c 3=c

，
解得：

b=4 c=3

，
∴所求的抛物线解析式为y=x²+4x+3；

（2）设平移后抛物线的解析式为y=x²+4x+3+k．
∵它经过点（-5，6），
∴6=（-5）²+4（-5）+3+k．
∴k=-2．
∴平移后抛物线的解析式为y=x²+4x+3-2=x²+4x+1．
配方，得y=（x+2）²-3．
∵a=1＞0，
∴平移后的抛物线的最小值是-3．

（3）由（2）可知，BD=PQ=2，对称轴为x=-2．
又∵S_△MBD=2S_△MPQ，
∴BD边上的高是PQ边上的高的2倍．
设M点坐标为（m，n）．
①当M点的对称轴的左侧时，则有0-m=2（-2-m）．
∴m=-4．
∴n=（-4）²+4（-4）+1=1．
∴M（-4，1）．
②当M点在对称轴与y轴之间时，则有0-m=2[m-（-2）]．
∴m=-

4

3

．
∴n=（-

4

3

）²+（-4

4

3

）+1=-

23

9

．
∴M（-

4

3

，-

23

9

）．
③当M点在y轴的右侧时，则有m=2[（m-（-2）]．
∴m=-4＜0，不合题意，应舍去．
综合上述，得所求的M点的坐标是（-4，1）或（-

4

3

，-

23

9

）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、三角形面积的计算方法等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．