Question

如图，直线y=-

3

4

x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=

5

4

x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．
（1）求点C的坐标；
（2）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）当t＞0时，直接写出点（4，

9

2

）在正方形PQMN内部时t的取值范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）简单求两直线的交点，建立二元一次方程组，得点C的坐标；
（2）根据几何关系把s用t表示，注意当MN在AD上时，这一特殊情况，转化为求函数最值问题；
（3）求定点在正方形PQMN内部时，t的范围，点E在x轴上运动，要用到分类讨论．

解答：解：（1）解方程

y=- 3 4 x+6 y= 5 4 x

解得：

x=3 y= 15 4

所以点C的坐标（3，

15

4

）；

（2）直线y=-

3

4

x+6与x轴交于A点，
令0=-

3

4

x+6，
解得x=8，
∴A点的坐标为（8，0），
∵AE=t，
∴OE=8-t，
∴在直线y=-

3

4

x+6上，
当x=8-t时，y=-

3

4

（8-t）+6，
所以P（8-t，

3

4

t），Q（8-t，10-

5

4

t）在直线y=

5

4

x上，
当x=8-t时，
PQ=10-

5

4

t-

3

4

t=10-2t，
所以当0＜t＜5时，S与t之间的函数关系式为S=（10-2t）t，
即S=-2t²+10t；
二次函数y=ax²+bx+c图象的顶点坐标
当t=-t=-

b

2a

=

5

2

时，S=

4ac-b2

4a

=

25

2

，
所以S的最大值是S=

25

2

；

（3）当t=5时，PQ=0，P，Q，C三点重合；
当t＜5时，知OE=4时是临界条件，即8-t=4
即t=4
∴点Q的纵坐标为5＞

9

2

，
点（4，

9

2

）在正方形边界PQ上，E继续往左移动，则点（4，

9

2

）进入正方形内部，但点Q的纵坐标再减少，当Q点的纵坐标为

9

2

时，OE=

18

5

∴8-t=

18

5

即t=

22

5

，
此时OE+PN=

18

5

+（10-2t）=

24

5

＞4满足条件，
∴4＜t＜

22

5

，
当t＞5时，由图和条件知，则有E（t-8，0），PQ=2t-10要满足点（4，

9

2

）在正方形的内部，
则临界条件N点横坐标为4?4=PQ+OE=|2t-10|+|t-8|=3t-18
即t=6，此时Q点的纵坐标为：-

3

4

×2+6=

9

2

．满足条件，
∴t＞6．
综上所述：4＜t＜

22

5

或t＞6．

点评：此题考查函数基本性质，求函数最值问题，第三问考查动点问题，求t的范围，观察图形，搞清几何坐标，理清思路，又运用分类讨论思想．