Question

如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，

3

），以点C为顶点的抛物线y=ax²+bx+c恰好经过x轴上A，B两点．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）过C作CE⊥AB于E，根据抛物线的对称性知AE=BE；由于四边形ABCD是菱形，易证得Rt△OAD≌Rt△EBC，则OA=AE=BE，可设菱形的边长为2m，则AE=BE=1m，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出m的值，由此可确定A、B、C三点的坐标；
（2）根据（1）题求得的三点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）由抛物线的对称性可知AE=BE．
∴△AOD≌△BEC．
∴OA=EB=EA．
设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，
m²+（

3

）²=（2m）²，解得m=1．
∴DC=2，OA=1，OB=3．
∴A，B，C三点的坐标分别为（1，0），（3，0），（2，

3

）．
（2）解法一：设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+

3

，代入A的坐标（1，0），得a=-

3

．
∴抛物线的解析式为y=-

3

（x-2）²+

3

．
解法二：设这个抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，由已知抛物线经过A（1，0），B（3，0），C（2，

3

）三点，
得

a+b+c=0 9a+3b+c=0 4a+2b+c= 3

解这个方程组，得

a=- 3 b=4 3 c=-3 3

∴抛物线的解析式为y=-

3

x²+4

3

x-3

3

．

点评：此题考查了菱形的性质、全等三角形的性质、抛物线的对称性、勾股定理以及二次函数图象的平移，综合性较强，难度适中．