如图:已知△ABC.AB=AC.∠BAC=90°.直角∠EPF的顶点P是BC的中点.两边PE.PF分别交AB.AC与E.F.给出以下五个结论:①EF=CP,②CF=AE,③2PF2=EF2,④∠AEP+∠AFP=180°,⑤当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时.S四边形AEPF=$\frac{1}{2}$S△ABC．上述结论中始终正确的有( )A．①②③④⑤B．①②⑤C．①③� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

如图：已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC与E，F，给出以下五个结论：①EF=CP；②CF=AE；③2PF²=EF²；④∠AEP+∠AFP=180°；⑤当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），S_{四边形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC．上述结论中始终正确的有（　　）

A．

①②③④⑤

B．

①②⑤

C．

①③④⑤

D．

②③④⑤

分析 ①错误．∠EPF绕点P旋转过程中，PE的长度是变化的，所以EF的长度的变化的，而PC是不变的，故①错误．
②③⑤正确．只要证明△EPA≌△FPC，即可解决问题．
④正确．只要证明△PEF是等腰直角三角形即可．

解答解：如图，连接AP．

∵AB=AC，∠BAC=90°，PB=PC，
∴PA=PB=PC，AP⊥BC，
∴∠PAB=∠C=45°，
∴∠APC=∠EPF=90°，
∴∠EPA=∠FPC，
在△EPA和△FPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C}\\{AP=PC}\\{∠EPA=∠FPC}\end{array}\right.$，
∴△EPA≌△FPC，
∴AE=CF，PE=PF，故②正确，S_△EPA=S_△FPC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$PF，
∴EF²=2PF²，故③正确，
∴S_{四边形AEPF}=S_△PAE+S_△PAF=S_△PFC+S_△PAF=S_△APC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，故⑤正确，
∵∠EAF+∠EPF=180°，
∴∠AEP+∠AFP=360°-（∠EAF-∠EPF）=180°，故④正确，
∵∠EPF绕点P旋转过程中，PE的长度是变化的，
∴EF的长度的变化的，而PC是不变的，故①错误，
故选D．