Question

11．如图，在等边△ABC中，点F、E分别在BC、AC边上，AE=CF，AF与BE相交于点P．
（1）求证：△AEP∽△BEA；
（2）若BE=3AE，AP=2，求等边△ABC的边长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠C=∠CAB=60°，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠CAF，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
又∵AE=CF，
在△ABE和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE=∠CAF，
∵∠AEB=∠BEA，
∴△AEP∽△BEA；
（2）解：∵△AEP∽△BEA，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{AP}{AB}$，
∵BE=3AE，AP=2，
∴AB=6，
∴等边△ABC的边长是6．

点评 本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用．