Question

如图，抛物线y=-

3

8

x²-

3

4

x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为y轴上的一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求D点的坐标；
（3）已知：直线y=-

k

4

x+k（k＞0）交x轴于点E，M为直线上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有四个时，求k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）当y=0时，求出x即可．
（2）利用平行线间的高相等，过B点作直线L₁∥AC交y轴于点D₁，可得出S_△ACB=S_△ACD1，利用坐标求出直线AC解析式，再求出直线L₁的表达式，即可求出D₁坐标，再根据根据关于对称性可求得D₂坐标．
（3）以AB为直径作⊙F，过E点作⊙F的切线，切点为H，利用待定系数法求出切线的解析式，要使以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有四个，就要使直线y=-

k

4

x+k（k＞0）与⊙F相交，即可求出k的范围．

解答：解：（1）令y=0，-

3

8

x²-

3

4

x+3=0，
解得x₁=-4，x₂=2，
∴点A、B的坐标分别为A（-4，0）、B（2，0）．
（2）如图1，过B点作直线L₁∥AC交y轴于点D₁，则S_△ACB=S_△ACD1，

设直线AC的表达式为y=kx+b，代入A（-4，0），C（0，3），
得

-4k+b=0 b=3

，解得

k= 3 4 b=3

，
∴直线AC表达式y=

3

4

x+3．
∵直线L₁平行于AC，
∴设直线L₁的表达式为y=

3

4

x+b，代入B（2，0）．
解得：b=-

3

2

，
∴D₁点的坐标是（0，-

3

2

），
根据关于对称性可求得D₂坐标为（0，

15

2

），
∴D点的坐标分别为：（0，-

3

2

），（0，

15

2

）
（3）∵直线y=-

k

4

x+k（k＞0）交x轴于点E，令y=0，则-

k

4

x+k=0，解得x=4，
∴E点坐标为（4，0），
如图2，以AB为直径作⊙F，过E点作⊙F的切线，切点为H，这样的直线有2条，

∵直线y=-

k

4

x+k（k＞0）中的k＞0，
∴只取x轴上方的一条切线．
连接FH，过H作HN⊥x轴于点N．
∵A（-4，0），B（2，0），
∴F（-1，0），
∴FE=5，⊙F半径FH=FB=3．
在Rt△HEF中，
HE=

52-32

=4，sin∠HFE=

4

5

，cos∠HFE=

3

5

．
在Rt△FHN中，HN=HN•sin∠HFE=3×

4

5

=

12

5

，
FN=HN•cos∠HFE=3×

3

5

=

9

5

，则ON=

4

5

，
∴H点坐标为（

4

5

，

12

5

）
设直线HE的表达式为y=kx+b，代入H（

4

5

，

12

5

），E（4，0），则有

4 5 k+b= 12 5 4k+b=0

，解得

k=- 3 4 b=3

，
所以切线HE的表达式为y=-

3

4

x+3．
∵过A、B点作x轴的垂线，其与直线y=-

3

4

x+3的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，
∴要使以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有四个，就要使直线y=-

k

4

x+k（k＞0）与⊙F相交，
∵过E点的直线y=-

3

4

x+3与⊙F相切时，直线与y轴的交点坐标是（0，3），
∴过E点的直线y=-

k

4

x+k（k＞0）与⊙F相交时k的范围是0＜k＜3．

点评：本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是明确直线y=-

k

4

x+k（k＞0）与⊙F相交时，以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有四个．据此求出k的取值范围．