Question

【题目】如图1，平面直角坐标系xoy中，A(－4，3)，反比例函数的图象分别交矩形ABOC的两边AC，BC于E，F（E，F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A，D重合．

　　　　　

（1）①如图2，当点D恰好在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长；

②若折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），求线段CE长度的取值范围．

（2）若折叠后，△ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）①EC＝2； ②；（2）点D的坐标为或

【解析】

（1）①根据A(－4，3)和反比例函数图象上点的特征可得E、F的坐标，从而可表示出AE、AF并求得，从而证得△AEF∽△ACB，利用相似三角形的性质的折叠的性质可推出，即可求得结果；

②当D在BO上时，由折叠的性质和同角的余角相等证得△AEF∽△BAD，设AF=x，利用勾股定理可列出方程，解之得AF的长，进而求出AE、CE的长，即可得出CE的取值范围；

（2）由△ABD是等腰三角形，可得或，分情况进行求解即可．

解:（1）①由题意得，，

∵，则，，

∴，，

∴，

∵由A(－4，3)得：，

∴，

∴，

又∵∠A=∠A，

∴△AEF∽△ACB，

∴∠AEF=∠ACB，

∴EF∥CB，

如图2，连接AD交EF于点H ，

由折叠的性质得：AH=DH，

∵D在BC上，

∴，则，

∴；

②由折叠得EF垂直平分AD，

∴，则，

又∵，

∴，

如图，当D落在BO上时，∵，

∴△AEF∽△BAD，

∴，则，

∴，

设AF=x，则FB=3－x，FD=AF=x，

在Rt△BDF中，由勾股定理得：，

即，解得：，

∴，

∴，

∴，

∴，即折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），CE的取值范围为；

（2）∵△ABD是等腰三角形，显然，

∴或，

①当时，，

由（1）得：，

∴，

如图，过点D作轴分别交AB、y轴于点M、N，

则，，

∴，，

∴△AEF∽△MBD，

∴，则，

∴，

∴，

∴点D的坐标为；

②当时，如图，过点D作轴分别交AB、y轴于点M、N，

则，，，

∴，

由（1）得，

∴△AEF∽△MAD，

∴，则，

设，则，

在Rt△MAD中，由勾股定理得：，

即，解得：，

∴，，

∴，，

∴点D的坐标为；

综上所述，若折叠后，△ABD是等腰三角形，点D的坐标为或．