Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．

（1）过点的直线交轴于点，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点作轴交直线于点，作轴交对称轴于点，以为邻边作矩形，当矩形的周长最大时，在轴上有一动点，轴上有一动点，一动点从线段的中点出发以每秒个单位的速度沿的路径运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点处停止运动，求动点运动时间的最小值：

（2）如图， 将绕点顺时针旋转至的位置， 点的对应点分别为，且点恰好落在抛物线的对称轴上，连接．点是轴上的一个动点，连接， 将沿直线翻折为， 是否存在点， 使得为等腰三角形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（0，3-）或（0，6）或（0，3+）或（0，12）．

【解析】

（1）根据题意设，，以及作关于轴对称，并过点作直线的垂线交于点即为所求，从而进行分析求解即可；

（2）根据题意分四种情形即①当AA'=A'B时；②当AA'=AB时；③当AA'=A'B时；④当A'B=AB时分别画出图形并进行分析求解.

解：（1）设，，

，

，开口向下，

当时，，

最少时间，

，作关于轴对称，

过点作直线的垂线交于点即为所求，

令y=0，解得

，

，

过作，

.

（2）①当AA'=A'B时，如图2中，

此时，A'在对称轴上

对称性可知∠AC′E=∠A'C′E

又∠HEC′=∠A'C′E

∴∠AC′E=∠HEC′

∴HE=HC'=5 2 ＝3 ，

∴OE=HE-HO=3 3，

∴E(0，33 )，

②当AA'=AB时，如图3中，设A″C′交y轴于J．

此时AA'=AB=BC'=A'C'，

∴四边形A'ABC'为菱形，

由对称性可知，

∠AC'E=∠A'C'E=30°，

∴JE= JC′＝，

∴OE=OJ-JE=6

∴E（0，6）

③当AA'=A'B时，如图4中，设AC′交y轴于M．

此时，A'在对称轴上∠MC'E=75°

又∠AMO=∠EMC'=30°

∴∠MEC'=75°

∴ME=MC'

∴MC'=3 ，

∴OE=3+3 ，

∴E（0，3+）.

④当A'B=AB时，如图5中，

此时AC'=A'C'=A'B=AB

∴四边形AC'A'B为菱形

由对称性可知，C'，E，B共线

由抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）可知，

令x=0，解得y=3 ；令x=0，解得：x1= ，x2=4 ；

∴A（，0），B(4，0)，OB=4，

∴OE= OB＝12，

∴E（0，12）．

综上满足条件的点E坐标为（0，3-）或（0，6）或（0，3+）或（0，12）．