Question

1．已知如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，-1），连接AC，AO=2CO，直线l过点G（0，t）且平行于x轴，t＜-1．
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）①若D（-4，m）为抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c上一定点，点D到直线l的距离记为d，当d=DO时，求t的值；
②若为抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c上一动点，点D到①中的直线l的距离与OD的长是否恒相等，说明理由；
（3）如图2，若E，F为上述抛物线上的两个动点，且EF=8，线段EF的中点为M，求点M纵坐标的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据点C坐标，可得c=-1，然后根据AO=2CO，可得出点A坐标，将点A坐标代入求出b值，即可得出函数解析式；
（2）①设出点D坐标，分别求出OD和点D到直线l的距离，然后列出等式求出t的值；
②利用勾股定理得出OD²的值，进而得出答案；
（3）作EN⊥直线l于点N，FH⊥直线l于点H，设出点E、F坐标，表示出点M的纵坐标，根据（2）中得出的结果，代入结果求出M纵坐标的最小值．

解答 解（1）∵AO=2CO，C（0-1），
∴OA=2，A（-2，0），
将（0，-1），（-2，0）代入y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{1-2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$
故抛物线解析式为：y=$\frac{1}{4}$x²-1；

（2）①由抛物线得：y=$\frac{1}{4}$×4²-1=3，
故D（-4，3）
则OD=5，
又∵d=DO
∴t=3-5=-2，

②设D（a，$\frac{1}{4}$a²-1）
则OD²=a²+（$\frac{1}{4}$a²-1）²
=a²+$\frac{1}{16}$a⁴-$\frac{1}{2}$a²+1
=（$\frac{1}{4}$a²+1）²，
点D到直线l的距离：$\frac{1}{4}$a²-1+2=$\frac{1}{4}$a²+1，
故d=DO；

（3）作EN⊥直线l于点N，FH⊥直线l于点H，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则EN=y₁+2，FH=y₂+2，
∵M为EF中点，
∴M纵坐标为：$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{（EN-2）+（FH-2）}{2}$=$\frac{EN+FH}{2}$-2，
由（2）得：EN=OE，FH=OF，
∴$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{EN+FH}{2}$-2=$\frac{OE+OF}{2}$-2，
要使M纵坐标最小，即$\frac{OE+OF}{2}$-2最小，
当EF过点O时，OE+OF最小，最小值为8，
∴M纵坐标最小值为$\frac{OE+OF}{2}$-2=$\frac{8}{2}$-2=2．

点评 本题考查了二次函数的综合知识，涉及到抛物线解析式的求法，点到直线的距离、两点间的距离等知识，涉及到的知识点比较多，利用数形结合表示出M点纵坐标是解题关键．