Question

6．如图，抛物线y=$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点．
（1）△AOB的外接圆的面积$\frac{225}{4}$π；
（2）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．
①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由
②当点M运动到何处时，△BNA的面积最大？求出此时点M的坐标及△BNA的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）将y=0代入y=$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12，解方程$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12=0，求出x的值，得到A，C的坐标；将x=0代入y=$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12，求出y的值，得到B点坐标，在直角△AOB中运用勾股定理求出AB的长，则△AOB的外接圆的半径为$\frac{1}{2}$AB，根据圆的面积公式求解即可；
（2）先运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-12，再设点M的横坐标为x，则M（x，$\frac{4}{3}$x-12），N（x，$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12）．
①若四边形OMNB为平行四边形，根据平行四边形的性质得出MN=OB=12，据此列出方程（$\frac{4}{3}$x-12）-（$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12）=12，由判别式△＜0即可判断出不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形；
②根据S_△ABN=S_△OBN+S_△OAN-S_△AOB，计算得出S_△ABN=-2x²+18x=-2（x-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{2}$，根据二次函数的性质得出当x=$\frac{9}{2}$时，S_△ABN有最大值$\frac{81}{2}$，进而求出此时点M的坐标．

解答 解：（1）∵y=$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12，
∴当y=0时，$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12=0，
解得：x₁=9，x₂=-3，
∴A（9，0），C（-3，0）；
当x=0时，y=-12，
∴B（0，-12），
∴OA=9，OB=12，∴AB=15，
∴S=π•（$\frac{15}{2}$）²=$\frac{225}{4}$π；
故答案为：$\frac{225}{4}$π；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（9，0），B（0，-12），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=0}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
∴直线AB的函数关系式为：y=$\frac{4}{3}$x-12．
设点M的横坐标为x，则M（x，$\frac{4}{3}$x-12），N（x，$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12）．
①若四边形OMNB为平行四边形，则MN=OB=12，
即（$\frac{4}{3}$x-12）-（$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x-12）=12，
整理，得x²-9x+27=0，
∵△=81-101＜0，
∴此方程无实数根，
∴不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形；

②∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$×12×9=54，S_△OBN=$\frac{1}{2}$×12•x=6x，S_△OAN=$\frac{1}{2}$×9×（-$\frac{4}{9}$x²+$\frac{8}{3}$x+12）=-2x²+12x+54，
∴S_△ABN=S_△OBN+S_△OAN-S_△AOB=6x+（-2x²+12x+54）-54=-2x²+18x=-2（x-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{2}$，
∴当x=$\frac{9}{2}$时，S_△ABN有最大值$\frac{81}{2}$，
此时M（$\frac{9}{2}$，-6）．

点评 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、三角形的外接圆、平行四边形的性质，三角形的面积求法、二次函数的最值．综合性较强，利用数形结合表示出△ABN的面积是解题关键．