Question

18．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，△ABD是等边三角形，求CD的长度．

Answer 1

分析 由勾股定理求出AB，由等边三角形的性质得出AB=AD=BD=2，∠DAB=∠ABD=60°．证出AB⊥CD于E，且AE=BE=1．求出AE=CE=1，由勾股定理求出DE，即可得出结果．

解答 解：∵∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴由勾股定理，得 AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2．       
∠CAB=∠CBA=45°．
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD=2，∠DAB=∠ABD=60°．
∵AC=BC，AD=BD，
∴AB⊥CD于E，且AE=BE=1．        
在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠EAC=45°，
∴∠EAC=∠ACE=45°．
∴AE=CE=1．                
在Rt△AED中，∠AED=90°，AD=2，AE=1，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$．      
∴CD=$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定等知识；熟练掌握等边三角形和等腰直角三角形的性质，运用勾股定理求出DE是解决问题的关键．