Question

10．如图，已知点P在抛物线y=$\frac{1}{8}$x²上，点F（0，2）在y轴上，直线l：y=-2与y轴交于点H，PM⊥l于M
（1）如图1，若点P的横坐标为6，则PF=$\frac{13}{2}$，PM=$\frac{13}{2}$；
（2）当∠FPM=60°时，求P点的坐标；
（3）如图2，若点T为抛物线上任意一点（原点O除外），直线TO交l于点G，过点G作GN⊥l，交抛物线于点N，求证：直线TN一定经过点F（0，2）．

Answer 1

分析 （1）首先求出点P坐标，利用两点之间距离公式即可解决问题．
（2）设P点坐标为（x，$\frac{1}{8}$x²），分别求出P点到F点的距离和到直线L的距离，即可证明PF=PM．
（3）先设出点T坐标，确定出点N坐标，进而得出直线TN解析式，即可解决问题．

解答 解：（1）∵点P在抛物线y=$\frac{1}{8}$x²上，
x=6时，y=$\frac{9}{2}$，
∴点P坐标（6，$\frac{9}{2}$），
∵F（0，2），
∴PF=$\sqrt{{6}^{2}+（\frac{9}{2}-2）^{2}}$=$\frac{13}{2}$，
∵点M在直线y=-2上，
∴PM=$\frac{9}{2}$+2=$\frac{13}{2}$，
故答案为$\frac{13}{2}$，$\frac{13}{2}$．

（2）如图1中，作FH⊥PM于H，设P点坐标为（m，$\frac{1}{8}$m²），则PF=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{8}{m}^{2}-2）^{2}}$=2+$\frac{1}{8}$m²，

∵PM=2+$\frac{1}{8}$m²，
∴PF=PM，
∵∠FPM=60°，
∴△PFM是等边三角形，
∵FP=FM，FH⊥PM，
∴PH=HM=4，
∴点P的纵坐标为6，
当y=6时，6=$\frac{1}{8}$x²，
∴x=±4$\sqrt{3}$，
∴点P坐标为（-4$\sqrt{3}$，6）或（4$\sqrt{3}$，6）．

（3）证明：如图2中，设点T（m，$\frac{1}{8}$m²），

∴直线TO解析式为y=$\frac{m}{8}$x，
∵直线y=-2平行x轴，
令y=-2，则x=-$\frac{16}{m}$，
∴直线TO与l交于G（-$\frac{16}{m}$，-2），
∵NG⊥l，l∥x轴，
∴N横坐标为-$\frac{16}{m}$，
∵点N在抛物线上，
∴N（-$\frac{16}{m}$，$\frac{32}{{m}^{2}}$）
设直线TN解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=\frac{1}{8}{m}^{2}}\\{-\frac{16}{m}•k+b=\frac{32}{{m}^{2}}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{{m}^{2}-16}{8m}}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴直线TN解析式为y=$\frac{{m}^{2}-16}{8m}$x+2，
∴直线TN一定经过点F（0，2）．

点评 题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的交点坐标，直角三角形的性质，判断点是否在直线上，解本题的关键是证明PF=PM，确定出直线TN的解析式是解本题的难点，属于中考压轴题．