Question

6．如图1，在△ABC中，AB=AC，AC⊥AB，过点C作AB的平行线m，取直线BC上一点P，连接AP，过P作AP的垂线，交直线m于点E，再过点P作BC的垂线，交直线AC于点F
（1）如图1，点F在线段CA的延长线上时，求证：CF-CE=AC；
（2）如图2，点F在线段CA的上时，AC、CE、CF三条线段的数量关系为CF+CE=AC；
（3）如图3，点F在线段AC的延长线上时，AC、CE、CF三条线段有怎样的数量关系？并证明．

Answer 1

分析 （1）由图象可知CF-AF=AC，要证明CF-CE=AC，只要证明利用全等三角形证明AF=CE即可．
（2）结论：CF+CE=AC，由图象可知CF+AF=AC，要证明CF+CE=AC，只要证明AF=CE即可．
（3）结论：CE-CF=AC，由图象可知AF-CF=AC，要证明CE-CF=AC．只要证明CE=AF即可．

解答 （1）证明：如图1中，∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵AC⊥EC，
∴∠ACE=90°，
∴∠PCE=90°-∠ACB=45°，
∵FP⊥PC，
∴∠FPC=90°，
∴∠PFC=90°-∠FCP=45°，
∴∠PFC=∠PCF=45°，
∴PF=PC，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，
∴∠FPC=∠APE=90°，
∴∠FPA=∠CPE，
在△FPA和△CPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFA=∠PCE}\\{PF=PC}\\{∠FPA=∠CPE}\end{array}\right.$，
∴△FPA≌△CPE，
∴AF=CE，
∴CF-CE=CF-AF=AC．
（2）如图2中，结论：CF+CE=AC，理由如下：
解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵AC⊥EC，
∴∠ACE=90°，
∴∠PCE=90°+∠ACB=135°
∵FP⊥PC，
∴∠FPC=90°，
∴∠PFC=90°-∠FCP=45°，
∠PFC=∠PCF=45°，
∴PF=PC，∠AFP=180°-∠PFC=135°=∠PCE，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，
∴∠FPC=∠APE=90°，
∴∠FPA=∠CPE
在△FPA和△CPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFA=∠PCE}\\{PF=PC}\\{∠FPA=∠CPE}\end{array}\right.$，
∴△FPA≌△CPE，
∴AF=CE，
∴CF+CE=CF+AF=AC．
故答案为CF+CE=AC．
（3）如图3中，结论：CE-CF=AC，理由如下：
证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=∠PCF=45°，
∵AC⊥EC，
∴∠ACE=90°，
∴∠PCE=180°-∠ACB-∠ACE=45°
∵FP⊥PC
∴∠FPC=90°，
∴∠PFC=90°-∠FCP=45°，
∠PFC=∠PCF=45°，
∴PF=PC，∠AFP=∠PCE，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，
∴∠FPC=∠APE=90°，
∴∠FPA=∠CPE
在△FPA和△CPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFA=∠PCE}\\{PF=PC}\\{∠FPA=∠CPE}\end{array}\right.$，
∴△FPA≌△CPE，
∴AF=CE，
∴EC-CF=AF-CF=AC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，考查了学生的认识图形的能力，这类题目有个共同特征形变一些结论基本不变．