Question

14．已知：如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，过C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：BD=CF；
（2）若CE=4，求△BDF的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明△BFC是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得CE=$\frac{1}{2}$CF，然后在证明△ADB≌△AFC可得BD=FC；
（2）根据三角形的面积公式解答即可．

解答 （1）证明：∵BE⊥EC，
∴∠BEF=∠CEB=90°．
∵∠1=∠2，
∴∠F=∠BCF，
∴BF=BC，
∵BE⊥CF，
∴CE=$\frac{1}{2}$CF，
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠CBA=45°，
∴∠F=（180-45）°÷2=67.5°，∠FBE=22.5°，
∴∠ADB=67.5°，
∴∠F=∠ADB，
在△ADB和△AFC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠ADB}\\{∠BAC=∠FAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AFC（AAS），
∴BD=FC；
（2）∵△ADB≌△AFC（AAS），
∴BD=FC，
∴BD=2CE，
△BDF的面积=$\frac{1}{2}$×BD×EF=$\frac{1}{2}$×8×4=16．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．