Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=2，∠A=60°．
（1）求证：BD⊥BC；
（2）延长CB至G，使BG=BC，E是边AB上一点，F是线段CG上一点，且∠EDF=60°，设AE=x，CF=y．
①当点F在线段BC上时（点F不与点B、C重合），求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
②当以AE为半径的⊙E与以CF为半径的⊙F相切时，求x的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：综合题

分析：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为H，在Rt△AHD中，由三角函数可得出AH=1，由

AH

AD

=

1

2

，

BC

CD

=

1

2

，可得

AH

AD

=

BC

CD

，即

AH

BC

=

AD

CD

．可证明△AHD∽△CBD，则∠CBD=∠AHD=90°，即BD⊥BC；
（2）①根据AD∥BC，得∠ADB=∠DBC=90°，可证明△EHD∽△FBD，得

DH

BD

=

EH

BF

，即

3

2 3

=

x-1

2-y

，从而得出y=4-2x（1＜x＜2）；②连接EF，分三种情况：
1°当点F在线段BC（点F不与点B、C重合）上时，根据△EHD∽△FBD，得

DH

BD

=

DE

DF

．即

DH

DE

=

BD

DF

，可证明△BDH∽△FDE，在Rt△EDH中，由勾股定理得DE，即可得出EF；i） 当⊙E与⊙F内切时，|x-(4-2x)|=

3x2-6x+12

．解得，x1=

9+ 57

6

（舍），x2=

9- 57

6

（舍）；ii）当⊙E与⊙F外切时，x+(4-2x)=

3x2-6x+12

．解得x₁=1（舍），x₂=-2（舍）；2°点F与点B重合时，即 x=1时，两圆外切；3°当点F在线段BG（点F不与点B重合）上时，
易得CF=4-2x，且△BDH∽△FDE仍然成立，即可得出EF，由1°计算可知x=

9- 57

6

时两圆内切．综上所述，当x=1时，两圆外切，当x=

9- 57

6

时，两圆内切．

解答：解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为H，
在Rt△AHD中，AH=AD•cosA=BC•cosA=1，
∵

AH

AD

=

1

2

，

BC

CD

=

1

2

，
∴

AH

AD

=

BC

CD

，即

AH

BC

=

AD

CD

．
又∵∠C=∠A=60°，
∴△AHD∽△CBD，
∴∠CBD=∠AHD=90°，
∴BD⊥BC；

（2）①∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=90°，
∵∠BDH+∠HDA=90°，∠A+∠HDA=90°，
∴∠BDH=∠A=60°，
∵∠EDF=60°，
∴∠BDH=∠EDF，即∠EDH+∠BDE=∠FDB+∠BDE，
∴∠EDH=∠FDB，
又∵∠EHD=∠CBD=90°，
∴△EHD∽△FBD，
∴

DH

BD

=

EH

BF

，
∴

3

2 3

=

x-1

2-y

，
∴y=4-2x（1＜x＜2）；
②连接EF，分三种情况：
1°当点F在线段BC（点F不与点B、C重合）上时，
∵△EHD∽△FBD，
∴

DH

BD

=

DE

DF

．即

DH

DE

=

BD

DF

．
又∵∠BDH=∠EDF，
∴△BDH∽△FDE，
∴∠DEF=90°，
在Rt△EDH中，DE=

EH2+DH2

=

x2-2x+4

，
∴EF=DE•tan60°=

3

•DE=

3x2-6x+12

；
i） 当⊙E与⊙F内切时，|x-(4-2x)|=

3x2-6x+12

．
解得，x1=

9+ 57

6

（舍），x2=

9- 57

6

（舍）；
ii）当⊙E与⊙F外切时，x+(4-2x)=

3x2-6x+12

．
解得x₁=1（舍），x₂=-2（舍）；
2°点F与点B重合时，即 x=1时，两圆外切；
3°当点F在线段BG（点F不与点B重合）上时，
易得CF=4-2x，且△BDH∽△FDE仍然成立，
∴EF=

3x2-6x+12

．
由1°计算可知x=

9- 57

6

时两圆内切．
综上所述，当x=1时，两圆外切，当x=

9- 57

6

时，两圆内切．

点评：本题考查了相似形的综合题以及三角函数、勾股定理、圆与圆的位置关系，注意分类思想在解题中的应用．