Question

17．如图，在矩形ABCD中，AD=3，以顶点D为圆心，1为半径作⊙D，过边BC上的一点P作射线PQ与⊙D相切于点Q，且交边AD于点M，连接AP，若AP+PQ=2$\sqrt{6}$，∠APB=∠QPC，则∠QPC 的大小约为64度40分．（参考数据：sin11°32′=$\frac{1}{5}$，tan36°52′=$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 作辅助线，构建直角三角形DQN，先得出NQ=AP+PQ=2$\sqrt{6}$，再由勾股定理求出DN的长，分别在Rt△AND和Rt△NQD中，根据三角函数求∠AND和∠DNQ的度数，得出结论．

解答 解：如图，延长MP和AB交于点N，连接DN、DQ，
∵射线PQ与⊙D相切于点Q，
∴DQ⊥NQ，DQ=1，
∵∠APB=∠QPC，∠QPC=∠BPN，
∴∠APB=∠BPN，
∵BP⊥AN，
∴AP=PN，
∴NQ=AP+PQ=2$\sqrt{6}$，
由勾股定理得：DN=$\sqrt{（2\sqrt{6}）^{2}+{1}^{2}}$=5，AN=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
在Rt△AND中，tan∠AND=$\frac{AD}{AN}$=$\frac{3}{4}$，
∵tan36°52′=$\frac{3}{4}$，
∴∠AND=36°52′，
在Rt△NQD中，sin∠DNQ=$\frac{DQ}{DN}$=$\frac{1}{5}$，
∵sin11°32′=$\frac{1}{5}$，
∴∠DNQ=11°32′，
∴∠BNP=36°52′-11°32′=25°20′，
∴∠QPC=∠BPN=90°-25°20′=64°40′．
故答案为：64，40．

点评 本题综合考查了切线、矩形的性质，利用勾股定理求边长，并根据条件解直角三角形；在几何证明中，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．