Question

正方形ABCD中，E，F分别为边DC，BC上的点，连接AE，DF且AE⊥DF于点P．
（1）求证：AE=DF；
（2）若PA=4，tan∠FDC=

1

2

，求正方形边长AD的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明△ADE≌△DCF，得到AE=DF，即可解决问题．
（2）证明tan∠DAE=tan∠FDC=

1

2

，结合tan∠DAE=

DE

AD

，得到AD=2DE（设为2λ）；证明AE=

5

λ；由射影定理得AD²=AP•AE，即4λ²=4×

5

λ，解得λ=

5

即可解决问题．

解答：（1）证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADE=∠DCF=90°，AD=DC；而AE⊥DF，
∴∠DAE+∠AED=∠AED+∠FDC，
∴∠DAE=∠FDC；
在△ADE与△DCF中，

∠DAE=∠FDC AD=DC ∠ADE=∠DCF

，
∴△ADE≌△DCF（ASA），
∴AE=DF．
（2）解：∵∠DAE=∠FDC，
∴tan∠DAE=tan∠FDC=

1

2

，而tan∠DAE=

DE

AD

，
∴AD=2DE（设为2λ）；
由勾股定理得：AE=

5

λ；
由射影定理得：AD²=AP•AE，
即4λ²=4×

5

λ，解得：λ=

5

，
∴AD=2

5

．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质、勾股定理、射影定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定及其性质等几何知识点．