Question

2．如图⊙O的半径为2，AB为直径．过AO的中点C作CD⊥AB交⊙O于点D，DE为⊙O的直径，点P为⊙O上动点，则2PC+PE的最小值是2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 延长OA到K，证明△COP∽△POK，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得PK=2PC，则2PC+PE的最小值就是KE的长，作EH⊥AB，在直角△KEH中利用勾股定理即可求得EK的长．

解答 解：延长OA到K，使AK=AO=2．
∵O是AO的中点，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴$\frac{OC}{OP}$=$\frac{OP}{OK}$=$\frac{1}{2}$．
又∵∠COP=∠POK，
∴△COP∽△POK，
∴$\frac{PC}{PK}$=$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{2}$，即PK=2PC．
∴2PC+PE=PE+PK≥EK．
作EH⊥BC于点H．
∵在直角△COD中，cos∠DOC=$\frac{OC}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠DOC=60°，
∴∠EOH=∠DOC=60°，
∴HE=OE•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴EK=$\sqrt{{5}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
即最小值是2$\sqrt{7}$．
故答案是：2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，以及路径最短问题，正确证明PK=2PC是解题的关键．