Question

16．如图，已知一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于点A（m，6）和B（2，3）．
（1）求反比例函数的解析式和求一次函数的解析式；
（2）根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？
（3）若直线y=kx+b与x轴交于点C，在x轴上是否存在点D，使得△BCD是以BC为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，则A的坐标即可求得，然后利用待定系数法求得一次函数解析式；
（2）求x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值，就是求一次函数的图象在反比例函数的图象上边的自变量的取值；
（3）首先求得C的坐标，然后分B是顶角顶点和C是顶角顶点两种情况进行讨论，即可求解．

解答 解：（1）设反比例函数的解析式是y=$\frac{k}{x}$，
把B（2，3）代入解析式得：k=6，
则反比例函数的解析式是y=$\frac{6}{x}$．
把（m，6）代入反比例函数的解析式得m=$\frac{6}{6}$=1．
则A的坐标是（1，6）．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=9}\end{array}\right.$．
则一次函数的解析式是y=-3x+9；
（2）根据图象可得：当1＜x＜2时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）在y=-3x+9中，令y=0，解得：x=3，则C的坐标是（3，0）．
作BF⊥x轴于点F，当B时等腰三角形的顶角顶点时，D和C关于F对称，则D的坐标是（1，0）；
BC=$\sqrt{（3-2）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，当C是等腰三角形的顶角顶点时，D的坐标是（3+$\sqrt{10}$，0）或（$\sqrt{10}$-3，0）．
总之，D的坐标是：（1，0）或（3+$\sqrt{10}$，0）或（$\sqrt{10}$-3，0）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及等腰三角形的性质，正确对等腰△BCD进行讨论是关键．