Question

7．如图，点A是双曲线y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）上的一点，连结OA，在线段OA上取一点B，作BC⊥x轴于点C，以BC的中点为对称中心，作点O的中心对称点O′，当O′落在这条双曲线上时，$\frac{OA}{OB}$的值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 过点A作AD⊥x轴于点D，由点A在反比例函数图象上设出点A的坐标，由O、A点的坐标即可得出直线OA的解析式，设出点B的坐标，由中点坐标公式以及中心对称的性质找出点O′的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点B、A横坐标之间的关系，由此即可得出结论．

解答 解：过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示．
∵点A是双曲线y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）上的一点，
∴设点A的坐标为（m，-$\frac{2}{m}$），
∴直线OA的解析式为y=-$\frac{2}{{m}^{2}}$x，
设点B的坐标为（n，-$\frac{2n}{{m}^{2}}$），则点C的坐标为（n，0），
线段BC中点的坐标为（n，-$\frac{n}{{m}^{2}}$）．
∵点O、O′关于点（n，-$\frac{n}{{m}^{2}}$）对称，
∴点O′的坐标为（2n，-$\frac{2n}{{m}^{2}}$）．
∵点O′在反比例函数y=-$\frac{2}{x}$的图象上，
∴-$\frac{2n}{{m}^{2}}$=-$\frac{2}{2n}$，即$\frac{2{n}^{2}}{{m}^{2}}$=1，
∴$\frac{m}{n}$=$\sqrt{2}$．
∵BC⊥x轴，AD⊥x轴，
∴BC∥AD，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{m}{n}$=$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题已经平行线的性质，解题的关键是找出$\frac{m}{n}$=$\sqrt{2}$．本题属于中档题，难度不大，但运算稍显繁琐，解决该题型题目时，设出点的坐标，利用平行线的性质找出线段间的比例关系是关键．