Question

17．已知二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象与x轴的正半轴相交于点A（2，0）和点B、与y轴相交于点C，它的顶点为M、对称轴与x轴相交于点N．
（1）用b的代数式表示顶点M的坐标；
（2）当tan∠MAN=2时，求此二次函数的解析式及∠ACB的正切值．

Answer 1

分析 （1）由于二次函数过点A，从而可知c=2-2b，然后将c代入抛物线的解析式中即可求出抛物线的顶点坐标．
（2）根据解析式可求出MN=$\frac{1}{2}$（b-2）²，由于点B的位置不确定，需要分情况讨论，求出b的值，从而求出二次函数的解析式，然后求出B、C的坐标后即可求出tan∠ACB．

解答 解：（1）∵二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象经过点A（2，0），
∴0=-$\frac{1}{2}$×4+2b+c
∴c=2-2b
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=-$\frac{1}{2}$x²+bx+2-2b
=-$\frac{1}{2}$（x-b）²+$\frac{{b}^{2}-4b+4}{2}$
∴顶点M的坐标为（b，$\frac{{b}^{2}-4b+4}{2}$）

（2）∵tan∠MAN=$\frac{MN}{AN}$=2
∴MN=2AN．
∵M（b，$\frac{{b}^{2}-4b+4}{2}$）
∴N（b，0），
∴MN=$\frac{1}{2}$（b-2）²
①当点B在点N左侧时，AN=2-b，
∴$\frac{1}{2}$（b-2）²=2（2-b）
∴b=-2．不符合题意．
②当点B在点N右侧时，AN=b-2，
∴$\frac{1}{2}$（b-2）²=2（b-2）
∴b=6
∴二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+6x-10
∴点C（0，-10），
∵点A、B关于直线MN对称，
∴点B（10，0）．
∵OB=OC=10，
∴BC=10，∠OBC=45°，
过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∵AB=8，∴AH=BH=4$\sqrt{2}$，∴CH=6$\sqrt{2}$
∴tan∠ACB=$\frac{AH}{CH}$=$\frac{4\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}$=$\frac{2}{3}$

点评 本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是根据题意求出二次函数的解析式，然后根据锐角三角函数即可求出tan∠ACB的值，本题属于中等题型．