Question

如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BP=BQ，过B点作PC的垂线，垂足为H．
①图中有

 

对相似三角形．
②若正方形的边长为1，P为AB的三等分点，求△BHQ的面积．
③求证：DH⊥HQ．

Answer 1

考点：正方形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：①△PHB与△PBC，△PHB与△HBC，△CHB与△PBC，△BHQ与△DHC．
②作HE⊥BC，由P为AB的三等分点，求得BP=

1

3

，在Rt△PBC中，由勾股定理得PC=

10

3

，由BP•BC=BH•PC，得BH=

BP•BC

PC

=

10

10

，在Rt△BHC中，由勾股定理得CH=

3 10

10

，由BH•CH=HE•BC，可得HE=

3

10

，解得△BHQ的面积．
③要证QH⊥DH，只要证明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，从而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ与△DHC相似．

解答：①解：图中有4对相似三角形．
故答案为：4．   
②解：作HE⊥BC，
∵正方形的边长为1，P为AB的三等分点，
∴BP=BQ=

1

3

，
在Rt△PBC中，由勾股定理得PC=

10

3

，
∵BP•BC=BH•PC，
∴BH=

BP•BC

PC

=

10

10

，
在Rt△BHC中，由勾股定理得CH=

3 10

10

，
∵BH•CH=HE•BC，
∴HE=

BH•CH

BC

=

3

10

，
∴△BHQ的面积S=

1

2

EH•BQ=

1

2

×

3

10

×

1

3

=

1

20

③证明：在Rt△PBC中，
∵BH⊥PC，
∴∠PBC=∠PHB=90°，
∴∠PBH=∠PCB．
显然，Rt△PBC∽Rt△BHC，
∴

BH

PB

=

HC

BC

，
由已知，BP=BQ，BC=DC，
∴

BH

BQ

=

HC

CD

∴

BH

CH

=

BQ

CD

，
∵∠ABC=∠BCD=90°，∠PBH=∠PCB，
∴∠HBQ=∠HCD．
在△HBQ与△HCD中，
∵

BH

CH

=

BQ

CD

，∠HBQ=∠HCD，
∴△HBQ∽△HCD，
∴∠BHQ=∠DHC，
∠BHQ+∠QHC=∠DHC+∠QHC．
又∵∠BHQ+∠QHC=90°，
∴∠QHD=∠QHC+∠DHC=90°，
即DH⊥HQ． 

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定以及正方形的性质，关键是相似三角形的判定．