Question

5．如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，且C为弧BD的中点．若EC=2，tan∠CEB=2．
（1）求证：△ABE∽△DCE，并求出BE的长；
（2）求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理得出∠A=∠D，∠B=∠C，即可得出△ABE∽△DCE；连接BC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由三角函数定义得出BC=2EC=4，由勾股定理求出BE即可；
（2）由已知得出$\widehat{DC}=\widehat{BC}$，得出DC=BC=4，由相似三角形的性质得出$\frac{DC}{AB}=\frac{EC}{EB}$，求出AB=4$\sqrt{5}$，得出AO=2$\sqrt{5}$，由圆的面积公式即可得出结果．

解答 （1）证明：∵∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△ABE∽△DCE；
连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵tan∠CEB=$\frac{BC}{CE}$=2，
∴BC=2EC=4，
∴BE=$\sqrt{E{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
（2）解：∵C为弧BD的中点，
∴$\widehat{DC}=\widehat{BC}$，
∴DC=BC=4，
∵△ABE∽△DCE，
∴$\frac{DC}{AB}=\frac{EC}{EB}$，即$\frac{4}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴AB=4$\sqrt{5}$，
∴AO=2$\sqrt{5}$，
∴⊙O的面积=π•（2$\sqrt{5}$）²=20π．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、圆的面积公式；熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似是解决问题的关键．