Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，过D作DE∥AB于E，连接BE交AD于D；过D₁，作D₁E₁∥AB于E₁，连接BE₁交AD于D₁，过D₂作D₂E₂∥AB于E₂，…，如此继续，记S_△BDE为S₁，S${\;}_{△B{D}_{1}{E}_{1}}$记为S₂，S${\;}_{△B{D}_{2}{E}_{2}}$记为S₃，…，若S_△ABC面积为1，则S₂=$\frac{1}{9}$；S_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$（用含n代数式表示）．

Answer 1

分析 根据D是边BC的中点，过D作DE∥AB，得到E为AC的中点，BE⊥AC，设△ABC的高是h，根据三角形的面积公式求出S₁=$\frac{1}{4}$，S₂=$\frac{1}{9}$，得出规律，即可得出结果．

解答 解：∵D是边BC的中点，DE∥AB，
∴E为AC的中点，BE⊥AC，
设△ABC的高是h，
过E作EM⊥BC于M，
∵BD=DC，DE∥AB，
∴AE=EC，
∵AD⊥BC，EM⊥BC，
∴AD∥EM，
∴DM=MC，
∴EM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$h，
∴S₁=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$BC•$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$，
∵DE∥AB，D₁E₁∥AB，
∴$\frac{B{D}_{1}}{{D}_{1}E}=\frac{AB}{DE}$=2=$\frac{A{E}_{1}}{{E}_{1}E}$，
∴S₂=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$AE•h-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$AE•$\frac{1}{3}$h=$\frac{1}{9}$=$\frac{1}{{3}^{2}}$，
同理S₃=$\frac{1}{16}$=$\frac{1}{{4}^{2}}$，…
S_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，
故答案为：$\frac{1}{9}$；$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．

点评 本题主要考查对三角形的面积，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据求出的结果找出规律是解此题的关键．