Question

1．如图，⊙O是以AB为直径的圆，C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点F，连结CA，CB．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若⊙O的半径为5，且tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质得到OC⊥EF，而AE⊥EF，则可判定AE∥OC，利用平行线的性质得到∠EAC=∠OCA，加上∠OCA=∠OAC，于是得到∠OAC=∠OCA；
（2）利用∠OAC=∠OCA得到tan∠OAC=tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，设BC=x，则AC=2x，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{5}$x，则$\sqrt{5}$x=10，然后解方程求出x即可得到BC的长．

解答 （1）证明：∵EF为切线，
∴OC⊥EF，
∵AE⊥EF，
∴AE∥OC，
∴∠EAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：∵∠OAC=∠OCA，
∴tan∠OAC=tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，
设BC=x，则AC=2x，
∴AB=$\sqrt{5}$x，
∴$\sqrt{5}$x=10，解得x=2$\sqrt{5}$，
∴BC=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形．