Question

6．如图，在?ABCD中，AB=$\sqrt{2}$AD，以AB为直径的⊙O经过点D，连接OC交⊙O于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若CE=4，求⊙O半径的长．

Answer 1

分析 （1）要证CD是⊙O的切线，只要连接OD，再证∠ODC=90°即可．
（2）由AB=2x根据图形表示出DC=2x，OC=x+4，OD=x，用勾股定理得OC²=OD²+CD²即可．

解答 （1）证明：设AB=2x，则AO=DO=x，
∵AB=$\sqrt{2}$AD，
∴AD=$\sqrt{2}$x，
∴AD²=2x²，AO²+DO²=x²+x²=2x²，
∴AD²=AO²+DO²，
∴△AOD为直角三角形，
∴∠AOD=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠ODC=90°，
∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB=x，
∴DC=2x，
∵OC=OE+CE=x+4，OD=x，
在Rt△ODC中，OC²=OD²+CD²，
∴（x+4）²=x²+（2x）²，
∴x=$\sqrt{5}$+1或x=-$\sqrt{5}$+1（舍），
∴⊙O的半径为$\sqrt{5}$+1．

点评 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，证垂直即可，涉及到勾股定理和平行四边形的性质．