Question

15．在平行四边形ABCD中，点E、F分别为边BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，过点D作DG⊥AB，垂足为点G，若AG=AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与CF相等的线段．

Answer 1

分析 （1）如图1中，欲证明四边形AECF是平行四边形只要证明AF=EC，AF∥EC即可．
（2）如图2中，结论：与CF相等的线段有：AF，DF，AE，BE．EC．先证明四边形ACDG是矩形，再证明四边形AECF是矩形即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AF=$\frac{1}{2}$AD，EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AF=EC．AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）与CF相等的线段有：AF，DF，AE，BE．EC．
理由：如图2中，连接AC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AB=AG，
∴AG=CD，AG∥CD，
∴四边形ACDG是平行四边形，
∵∠G=90°，
∴四边形ACDG是矩形，
∴∠ACD=90°，∵AF=DF，
∴AF=CF=DF，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形，
∴CF=AF=DF=AE=EC=BE．

点评 本题考查平行四边形的性质和判定、矩形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识，灵活运用这些知识解决问题，所以中考常考题型．