Question

19．如图所示，PA是⊙O的切线，切点为A，∠PAB是切线AP与弦AB的夹角，∠C是$\widehat{AB}$所对的圆周角．
（1）当AC是直径时，∠C与∠BAP的大小关系如何？
（2）当AC不是直径时，（1）题的关系还存在吗？试说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得出∠CAB+∠BAP=90°，再利用直径得出∠ACB+∠CAB=90°证明即可；
（2）连接AO并延长交圆于E，连接BE，根据直径所对的圆周角是直角，可以得到∠E+∠EAB=90°；再根据AB是切线可以得到∠EAB+∠1=90°，所以∠E=∠1，最后根据等弧所对的圆周角相等就可以的得到所要的结论．

解答 解：（1）∠C=∠BAP，理由如下：
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴∠CAP=90°，
∴∠CAB+∠BAP=90°，
∵AC是直径，
∴∠ACB+∠CAB=90°，
∴∠C=∠BAP；
（2）如图，作直径AE，连接EB，

∠C=∠BAP
∵AE是⊙O的直径，
∴∠EAB+∠E=∠EBA=90°；
又∵AB是⊙O的切线，
∴∠EAB+∠1=90°，
∴∠1=∠E；
∴∠C=∠1．
∴∠C=∠BAP．

点评 本题综合运用了切线的性质、等角的余角相等以及圆周角定理的推论，熟记定理是解题的关键．